1. LÓGICA MATEMÁTICA

1.1 PROPOSICIONES

La proposición se define como una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa.

Los elementos fundamentales de la lógica son las proposiciones. Por ello, las oraciones que no son ni falsas ni verdaderas, las que son verdaderas y falsas al mismo tiempo, o las que demuestran imprecisión (carecen de sentido).

 Ejemplo :
Lava el auto por favor.
Hola, ¿cómo estás?
¡Apúrate!
X + 5 = 9
¡Mañana se acabará el mundo!


Oraciones que son proposiciones
5 es un número primo.
-17 + 38 =21.
Todos los números enteros son positivos.
Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador.

Proposiciones simples y compuestas.

Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógico.
Las proposiciones compuestas son aquellas que están formadas por otras proposiciones y operadores lógicos.

1.2 VALOR DE VERDAD
El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso.

1.3 TABLA DE VERDAD
Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición.

Las tablas sirven para mostrar una representación de los posibles valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

1.4 OPERADORES LÓGICOS

•Negación
La negación se representa con los términos gramaticales: “no”, “ni”, “no es verdad que”, “no es cierto que”.

•Conjunción
La conjunción copulativa se representa con los términos gramaticales: “y”, “pero”, “mas”, y signos de puntuación como: la coma, el punto, el punto y coma.

•Disyunción
En español se representa con el término gramatical: “o”. Cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:

•Condicional
Existen 2 partes: el antecedente y el consecuente; la proposición resultante será falsa sólo cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor del consecuente sea falso.

Este operador lógico también se denomina enunciación hipotética o implicación.

Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional, las cuales se denominan: recíproca, inversa y contrarrecíproca (o contrapositiva).

Condiciones necesarias y suficientes
Al ser la proposición a b verdadera, la condición “n es divisible para 4” es suficiente para “n sea divisible para 2”; es decir, que basta que n sea divisible para 4 para que ese mismo n sea divisible para 2. Esto significa que a es condición suficiente para b.

•Bicondicional
Será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales, será falsa cuando los valores de ambas proposiciones sean diferentes.


1.5 TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA

Tautología
Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

Contradicción
Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

Contingencia
Si se tienen solamente proposiciones falsas y verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.


1.6 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS
Las operaciones lógicas definidas entre las formas proposicionales y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Proposiciones o Leyes Lógicas.

1.7 RAZONAMIENTOS
Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una proposición final denominada conclusión.


1.8 VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO
Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia.

1.9 DEMOSTRACIONES FORMALES

1.- Doble negación.
a). p''Ûp

2.- Leyes conmutativas.
a). (pÚq)Û(qÚp)
b). (pÙq)Û(qÙp)
c). (p«q)Û(q«p)

3.- Leyes asociativas.
a). [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]
b. [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]

4.- Leyes distributivas.
a). [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]
b. [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]

5.- Leyes de idempotencia.
a). (pÚp)Ûp
b). (pÙp)Ûp

6.- Leyes de Morgan
a). (pÚq)'Û(p'Ùq')
b). (pÙq)'Û(p'Úq')
c). (pÚq)Û(p'Ùq')'
b). (pÙq)Û(p'Úq')'

7.- Contrapositiva.
a). (p®q)Û(q'®p')

8.- Implicación.
a). (p®q)Û(p'Úq)
b). (p®q)Û(pÙq')'
c). (pÚq)Û(p'®q)
d). (pÙq)Û(p®q')'
e). [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]
f). [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]


9.- Equivalencia
a). (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]

10.- Adición.
a). pÞ(pÚq)

11.- Simplificación.
a). (pÙq)Þp

12.- Absurdo
a). (p®0)Þp'


13.- Modus ponens.
a). [pÙ(p®q)]Þq

14.- Modus tollens.
a). [(p®q)Ùq']Þp'

15.- Transitividad del «
a). [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)

16.- Transitividad del ®
a). [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)

17.- Mas implicaciones lógicas.
a). (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]
b). (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]
c). (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]

18.- Dilemas constructivos.
a). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]
b). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]