5. DERIVADAS Y LÍMITES

En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.
El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

5.1 CONCEPTOS Y APLICACIONES
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

5.2INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LAS DERIVADAS
Es importante entender qué es una función matemática para hablar de derivadas. Una ecuación que relaciona dos variables,puede entenderse como una función. Notar que dos valores diferentes pueden apuntar a un mismo valor sin contradecir la definición dada de función. La correspondencia entre estas dos variables se puede abstraer mediante parejas.Tales parejas se pueden interpretar como puntos geométricos en un plano cartesiano de manera que, al graficar muchos puntos, se obtiene un dibujo que representa la función.

A DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función es otra función que se obtiene mediante las bien definidas reglas de derivación, es decir, de forma completamente mecánica.

La nueva gráfica del plano cartesiano definida por esta nueva función (la derivada) y obtenida de una función original, representa la velocidad con que la función original crece o decrece en cada punto. Esta velocidad de crecimiento o decrecimiento viene definida por la pendiente del punto tratado. Es evidente que con un solo punto dibujado en la grafica no puede apreciarse pendiente alguna, pero al dibujar varios puntos lo más contiguos posibles (a partir de la función derivada), y uniéndolos mediante una línea, la idea de pendiente queda visualizada.

En la gráfica de una función derivada, la pendiente representa la rapidez con que cambia la función original en cada punto. Si la pendiente es muy grande, entonces la función original en ese punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces la función original crece muy despacio en ese punto.

En términos geométricos, esta pendiente es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto que evalúa la derivada .La línea recta anterior podemos dibujarla sobre el plano cartesiano que contiene la gráfica de la función sobre un punto determinado de la gráfica para representarla. Esta línea recta que pasa justo por encima del punto tiene la inclinación guiada por los puntos contiguos generados por los valores obtenidos de la función derivada. Al darle muchos valores al azar a la variable, conseguimos que la función derivada nos vaya devolviendo los puntos que representan dicha linea recta, con su correspondiente pendiente para ese punto.

Derivar una función no es en absoluto complicado si se saben utilizar las reglas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton. Dichas reglas son fruto de un concienzudo esfuerzo puramente lógico. Se puede comparar el proceso que lleva a una regla de derivación al proceso utilizado para obtener la famosa solución que resuelve las ecuaciones de segundo grado de forma automática, y que está descrito en la mayoría de libros de texto. Se requiere un poco de práctica para aplicar correctamente la reglas de derivación sin caer en errores elementales.

5.3LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

Límites y Continuidad

Límite de una función en un punto. Propiedades.

Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

Cálculo de límites.

Función continua en un punto y en un intervalo.

Operaciones con funciones continuas.

Discontinuidades.

El Teorema del valor medio de Bolzano y el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass.

5.4 Objetivos Mínimos
Conocer los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límite en el ±. Saber calcular límites de cocientes de polinomios. Saber determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función. Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos principales de indeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas. Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la continuidad lateral, y, como consecuencias elementales, la conservación del signo y la acotación de la función en un entorno del punto.

Saber donde son continuas las funciones elementales. Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que pueden aparecer y saber reconocerlos usando los límites laterales. Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos.

5.5 Límite de una función en un punto.

Propiedades

A) LIMITE EN UN PUNTO.

A1) Límite finito: Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por (Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,).)

A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).

B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

B1) siempre que no aparezca la indeterminación .

B2) con .

B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .

C) LIMITES LATERALES.

C1) Límite por la izquierda:

C2) Límite por la derecha:


2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva. A) LIMITES EN EL INFINITO.

A1) Límite finito.

A2) Límite infinito.

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.

B1) Asíntotas verticales. Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

B2) Asíntotas horizontales. Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

B3) Asíntotas oblicuas. Dada la función y = f(x), si se verifica que

a) b) c) entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para . La asíntota puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

3. Cálculo de límites. A) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

B) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

C) INDETERMINACIÓN Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Ejemplo.-

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

D) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplos.-

E) INDETERMINACIONES - - Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

de donde resulta que:

pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores. En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:

Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:

F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:

Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:

(Usa la fórmula del sen(x/2))
En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes aplicando la Regla de L’Hôpital.

4. Función continua en un punto y en un intervalo. Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:

Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a. Existe el . Ambos valores coinciden, es decir . Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:

Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b).

Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si .

Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si .

Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:

y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b). y = f(x) es continua por la derecha en x=a. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b. TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . (La demostración es inmediata) Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general.

Es decir:

Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar) TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.

Demostración: Tomemos . Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:

de modo que es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el entorno de x=a. 5. Operaciones con funciones continuas. Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:

es continua en x=a.
es continua en x=a.
es continua en x=a si .
es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).
TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) es continua en x=a.

Demostración:

De lo dicho anteriormente resulta que:

6. Discontinuidades. Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a).

B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función en x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua.

Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al valor .


Reales Lim (x+1) = 3

x 0
Tipos de límites

c/0 = ∞
Infinito Lim (1/x ) = ∞ 0/0 = ∞

x 0

∞/∞ = ∞
c/0 = ∞ c ≠ 0 0/0 = ∞ 2 tipos (polinomios-radicales) ∞/∞ = ∞ polinomios

Tipos de límites.- Caso I 0/0 En un cociente con polinomios

Lim x2 – 16 = (4)2 - 16 = 0/0 Indeterminación x - 4 x – 4 4 – 4

Cuando da indeterminación se aplica la regla de Factorizacion:

Lim x2 – 16 = (x+4)(x-4) = 4+4 = 8 x - 4 x – 4 (x-4)

verificar / x--- 3.99 Lim x2 – 16 = (3.99)2 - 16 = 3.99+4 = 7.99

x - 4 3.99 - 4
Caso II 0/0 En un cociente con radicales Lim x – 9 = 3–9 = 6 x—3 √x −3 √3- 3 √3 – 6

Lim x – 9 = 9–9 = 0 = 0/0 = ∞ Indeterminación x—9 √x −3 √9- 3 3 – 3

Regla.- Multiplicar numerador y denominador por el conjugado de la parte radical.

Lim ( x-9) . (√x + 3) x—9 (√x - 3) (√x + 3)

Lim (x-9) (√x + 3) = Lim (x-9) (√x + 3) = x—9 (√x)2- (3)2 ( x – 9)

Lim √x + 3 = √9 +3 = 3+3 = 6 x—9

Caso III ∞/∞ En un cociente con polinomios

Lim 4×2 – 3x = ∞ = ∞ Indeterminación x--∞ 5×2+2 ∞

Regla.- Dividimos terminos a terminos sobre la variable de mayor potencia (no considere su coeficiente)

Lim 4×2/5×2 - 3x /x2 = Lim 4 – 3/x x--∞ 5×2/x2 + 2/x2 x--∞ 5 - 2/x2

= 4 – 3/∞ = 4 – 0 = 4 = 0.8

5 – 2/∞2 5+0 5